Требования к уровню подготовки выпускников

Основная школа, 5–9-е классы

Математика
Требования к уровню подготовки выпускников

Изучение математики должно предоставить учащимся возможность:

– овладеть геометрическим языком и научиться использовать его для описания предметов окружающего мира, развить пространственные представления и изобразительные умения, приобрести навыки геометрических построений и измерений;
– усвоить систематические знания о плоских фигурах и их свойствах, а также о простейших пространственных телах на уровне, позволяющем применять их для решения геометрических и практических задач;
– познакомиться с основными способами представления и анализа статистических данных, получить представление о статистических закономерностях в реальном мире, ознакомиться с классическими вероятностными моделями;
– научиться ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику; свободно использовать различные языки математики (словесный, символический, графический); логически обосновывать суждения и проводить классификацию;
– уверенно применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению известных алгоритмов;
– выработать представление об основных изучаемых понятиях (число, фигура, уравнение, неравенство, функция) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления.

Обязательный минимум содержания образования

Арифметика

Натуральные числа

Натуральный ряд. Десятичная система счисления. Римская нумерация как пример непозиционной системы счисления. Свойства арифметических действий, их буквенная запись. Степень с натуральным показателем. Числовые выражения и порядок действий. Применение свойств арифметических действий к вычислениям.
Делимость натуральных чисел: делители и кратные; свойства делимости; признаки делимости. Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители. Деление с остатком.

Обыкновенные и десятичные дроби

Величины и числа

Примеры величин. Единицы измерения. Отношение величин. Отношение отрезков. Соизмеримые отрезки. Зависимости между величинами, их запись с помощью формул. Вычисления по формулам.
Проценты. Выражение отношения величин в процентах. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Пропорция. Основное свойство пропорции. Пропорциональные и обратно пропорциональные величины.
Решение текстовых задач.
Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности. Точность приближения. Запись чисел в стандартном виде. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Вычисления на калькуляторе.

Рациональные числа

Отрицательные числа. Целые и рациональные числа. Противоположные числа. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами.

Действительные числа

Квадратный корень. Символ . Нахождение приближенного значения квадратного корня с помощью калькулятора. Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Корень третьей степени. Символ .
Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел.

Элементы статистики и вероятность

Решение комбинаторных задач: перебор, дерево вариантов, правило умножения.
Сбор и представление данных. Таблицы, диаграммы и графики как формы представления информации. Круговые, столбчатые, линейные диаграммы. Среднее арифметическое, медиана, мода, размах. Генеральная совокупность, выборка.
Случайные события. Статистический эксперимент. Частота события. Классическая модель вероятности. Понятие о законе больших чисел.

Алгебра

Начала алгебры

Буквы в алгебре, переменная. Буквенные выражения (выражения с переменными). Подстановка значений переменных в буквенные выражения, числовое значение буквенного выражения. Подстановка выражений вместо переменных.
Тождество. Переместительный, сочетательный и распределительный законы, свойства 0 и 1. Приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок в алгебраических суммах и произведениях. Доказательство тождеств.

Алгебраические выражения

Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разности, произведение суммы на разность. Многочлены с одной переменной. Корни многочлена. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Целые и рациональные выражения. Область определения выражения. Доказательство тождеств.
Степени и корни. Степень с натуральным и целым показателями и ее свойства. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

Уравнения и неравенства

Числовые равенства и их свойства. Уравнение с одной переменной; корень (решение) уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Рациональные уравнения.
Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными; решение методом подстановки и алгебраического сложения. Примеры решения нелинейных систем.
Решение текстовых задач с помощью уравнений и систем.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной; решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Конечные и бесконечные числовые промежутки. Пересечение и объединение числовых промежутков.

Декартовы координаты

Координатная прямая. Числовые промежутки на координатной прямой. Формула расстояния между точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки плоскости. Формула расстояния между точками координатной плоскости. Координаты середины отрезка.
График уравнения с двумя переменными. Уравнение прямой. Угловой коэффициент прямой. Уравнение окружности. Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
Декартовы координаты в пространстве. Координаты точки пространства.

Функции

Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий. Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.
Числовая функция. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. График функции.
Возрастание и убывание функции, сохранение знака функции на промежутке. Нули функции. Наибольшее и наименьшее значения.
Свойства и графики функций: прямой и обратной пропорциональности, функций y = x2 и y = x3, линейной функции, квадратичной функции, функции y = и y = | x |.

Геометрия

Логические основы

Определение. Аксиома. Теорема. Обратная теорема. Доказательство. Доказательство от противного.

Геометрические фигуры и их свойства

Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельных и перпендикулярных прямых. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку.
Угол. Биссектриса угла и ее свойство. Вертикальные углы. Смежные углы.
Треугольник. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Прямоугольные, тупоугольные и остроугольные треугольники. Средняя линия треугольника. Замечательные точки треугольника: точки пересечения высот, биссектрис, медиан. Сумма углов треугольника. Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников.
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Решение прямоугольных треугольников.
Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат и ромб и их свойства. Трапеция. Средняя линия трапеции.
Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Радиус, диаметр, хорда. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы.
Вписанная и описанная окружности многоугольника. Вписанная и описанная окружности треугольника.
Прямоугольный параллелепипед и куб, пирамида, призма; вершины, ребра, грани. Случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве на моделях многогранников. Правильные многогранники.
Шар, сфера. Цилиндр, конус, усеченный конус.
Развертка пространственных тел.

Равенство и подобие фигур. Геометрические преобразования

Равенство фигур. Признаки равенства треугольников. Подобие фигур. Признаки подобия треугольников. Теорема Фалеса.
Симметрия на плоскости. Осевая симметрия. Центральная симметрия. Симметрия в пространстве. Симметрия относительно точки. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос. Поворот.

Измерение геометрических величин

Длина отрезка, расстояние между точками. Неравенство треугольника. Расстояние от точки до прямой.
Градусная мера угла. Градусная мера дуги окружности. Длина окружности. Число p. Длина дуги окружности.
Измерение площадей. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Приближенное измерение площади с помощью палетки. Площадь треугольника. Площадь параллелограмма, прямоугольника, квадрата и ромба. Площадь круга. Площади подобных фигур.
Измерение объемов. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.

Геометрические построения

Построения отрезков и углов заданной величины, параллельных прямых, перпендикулярных прямых, треугольников с заданными элементами с помощью чертежных инструментов.
Изображение пространственных тел на плоскости. Центральное и параллельное проектирование.
Простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Геометрические места точек.

Векторы

Вектор. Длина вектора. Равенство векторов. Противоположные векторы. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.
Сложение векторов и его свойства. Разность векторов. Умножение вектора на число и его свойства.

Общеобразовательный уровень

Математика, 10–11-е классы
(3 ч в неделю)

Требования к уровню подготовки выпускников

Изучение математики должно предоставить учащимся возможность:

– развить представление о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; приобрести твердые навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений (точных и приближенных);
– овладеть символическим языком алгебры, а также развитой техникой тождественных преобразований рациональных выражений, свободно применять полученные навыки в ходе решения задач;
– освоить приемы решения линейных и квадратных уравнений, линейных неравенств, а также приводимых к ним уравнений, неравенств, систем; научиться применять графические представления для решения и исследования уравнений, систем, неравенств; уверенно применять полученные умения для решения задач из математики, смежных предметов, практики;
– изучить функции, предусмотренные содержанием образования, их свойства и графики; овладеть системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;
– овладеть геометрическим языком и научиться использовать его для описания предметов окружающего мира, развить пространственные представления и изобразительные умения, приобрести навыки геометрических построений и измерений;
– усвоить систематические знания о плоских фигурах и их свойствах, а также о простейших пространственных телах на уровне, позволяющем применять их для решения геометрических и практических задач;
– познакомиться с основными способами представления и анализа статистических данных, получить представление о статистических закономерностях в реальном мире, ознакомиться с классическими вероятностными моделями;
– научиться ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику; свободно использовать различные языки математики (словесный, символический, графический); логически обосновывать суждения и проводить классификацию;
– уверенно применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению известных алгоритмов;
– выработать представление об основных изучаемых понятиях (число, фигура, уравнение, неравенство, функция) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления.

Обязательный минимум содержания образования

Алгебра и начала анализа

Равносильность уравнений и неравенств. Рациональные уравнения. Квадратные неравенства. Метод интервалов. Системы и совокупности уравнений и неравенств.
Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, действительного числа. Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Графики тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.
Понятие о корне n-й степени и степени с рациональным и иррациональным показателем. Логарифм. Основные свойства степени и логарифма. Показательная и логарифмическая функции. Графики степенной функции с натуральным показателем, показательной и логарифмической функций. Решение простейших показательных и логарифмических уравнений.
Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
Первообразная. Основное свойство первообразных. Таблица первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона–Лейбница.

Геометрия

тельная плоскость к шару.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Линейный угол двугранного угла.
Вычисление площадей боковых поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра. Формула площади сферы. Формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

Профессиональное образование

Математика, 10–11-е классы
(5 ч в неделю)

Требования к уровню подготовки выпускников

Изучение математики должно предоставить учащимся возможность:

– освоить основные понятия и законы логики математических рассуждений, усовершенствовать умение проводить дедуктивные и индуктивные рассуждения при доказательстве теорем курса и решении задач, грамотно использовать изученные алгоритмы;
– пополнить систему теоретико-числовых; получить представление о расширении числовых множеств как построении нового математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики, ознакомиться с комплексными числами и их применениями в алгебре и геометрии;
– усвоить основные формулы комбинаторики; развить представления о классической модели вероятностей и ее применениях; получить представления о случайных величинах и их характеристиках, о законах распределения случайных величин;
– освоить алгебру многочленов с одной переменной до уровня, позволяющего применять ее к решению уравнений; овладеть развитой техникой преобразований иррациональных, степенных и логарифмических выражений, решения соответствующих уравнений, неравенств и систем; освоить основные приемы рассуждений при решении уравнений, неравенств и систем с параметрами;
– усвоить основные понятия и формулы тригонометрии, с достаточной уверенностью проводить тригонометрические преобразования при решении задач разных типов; овладеть приемами решения тригонометрических уравнений и неравенств;
– систематизировать и расширить сведения о функциях, усовершенствовать графические умения, в том числе приобрести навыки преобразования графиков, изучить новые виды функций (тригонометрические, степенная, показательная и логарифмическая), их свойства и графики;
– ознакомиться с основными понятиями, результатами и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;
– получить представления об аксиоматическом построении математической теории; расширить круг знаний о геометрии на плоскости и в пространстве; освоить приемы решения стереометрических задач на построение, вычисление и доказательство, в том числе, с применением алгебраического и тригонометрического аппарата, координатного и векторного методов;
– приобрести математическое развитие на уровне, позволяющем свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;
– строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин; понимать особенности применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

Обязательный минимум содержания образования

Алгебра и начала анализа

Математический язык и логика

Высказывание. Отрицание высказывания. Противоречие.
Переменная. Предложение с переменными. Равносильные предложения. Следствие. Уравнения и неравенства как предложения с переменными.
Общие высказывания и высказывания о существовании. Отрицание общих высказываний и высказываний о существовании Контрпример, Отрицание сложных высказываний.
Правила вывода. Индукция и дедукция. Метод полной индукции.
Алгоритм. Свойства алгоритмов. Исполнитель алгоритма. Алгоритмы в школьной математике.

Числа

Основные свойства делимости натуральных чисел. Простые и составные числа. Взаимно простые числа. Связь между наибольшим общим делителем, наименьшим общим кратным и произведением двух чисел. Свойства остатков.
Корень степени n из действительного числа. Арифметический корень. Степень с рациональным и иррациональным показателем. Логарифм. Число e и натуральный логарифм.
Обобщение понятия числа: натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Элементы комбинаторики, статистики и вероятность

Размещения и сочетания. Формулы размещений и сочетаний. Размещения и сочетания с повторениями. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Поле событий, элементарные и сложные события в классической модели вероятности. Вероятность сложного события. Условная вероятность. Независимые события. Вероятность совместного наступления независимых событий.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Закон распределения случайной величины. Понятие о нормальном распределении вероятностей.

Алгебра

Многочлены с одной переменной. Значения и корни многочленов. Вычисление значений многочленов по схеме Горнера. Деление многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Число корней многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Свойства корня степени n и степени с действительным показателем. Основные свойства логарифмов: логарифм произведения, частного и степени. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода от одного основания логарифма к другому. Преобразования иррациональных, степенных и логарифмический выражений.
Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Равносильность неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. Метод интервалов для решения неравенств. Сведение решения неравенства к решению уравнения.
Системы уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной переменной.
Решение текстовых задач с помощью уравнений и систем.
Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.

Элементы тригонометрии

Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Простейшие тригонометрические уравнения. Приемы решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства.

Функции

Функция. Функциональная символика. Свойства функций: четность и нечетность, возрастание и убывание, монотонность, нули функции и промежутки знакопостоянства, периодичность, ограниченность, непрерывность. Особые значения функций: наибольшее и наименьшее значения, экстремумы. Применение свойств функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств.
Обратная функция. Признак существования и свойства обратной функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция.
Преобразования графиков функций: параллельный перенос, растяжение и сжатие вдоль осей координат, симметрия относительно осей координат и относительно прямой y = x.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Графики рациональных функций.
Свойства и графики степенных функций с натуральным, целым и дробным показателем. Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс и котангенс. Периодичность тригонометрических функций. Основной период. Нахождение периода сложных функций, суммы, произведения и частного двух функций. Свойства и графики тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных тригонометрических функций.

Элементы математического анализа

Последовательность как функция натурального аргумента. Конечная последовательность. Общий член последовательности. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга, площадь боковой поверхности и объем цилиндра и конуса как предела последовательностей.
Числовой ряд. Сумма числового ряда. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Производная. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функций. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма (необходимый признак экстремума), теорема Лагранжа, достаточные условия монотонности функции, признаки экстремумов. Применение теорем дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков.
Первообразная. Таблицы первообразных. Свойства первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения интеграла к вычислению площадей и объемов геометрических фигур.

Геометрия

Геометрические фигуры на плоскости и их свойства

Характеристические свойства равнобедренного, равностороннего и прямоугольного треугольников.
Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников.
Обобщенная теорема Фалеса. Построение четвертого пропорционального отрезка. Построение среднего геометрического.
Характеристические свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и равнобедренной трапеции. Соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма.
Величина угла с вершиной внутри и вне круга. Величина угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей.
Вписанные и описанные многоугольники. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности.
Геометрические места точек.

Геометрические фигуры в пространстве и их свойства

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми. Параллельность и перпендикулярность прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.
Трехгранный угол. Свойство плоских углов трехгранного угла.
Кривые и поверхности в пространстве. Геометрическое тело. Сечения. Подобные пространственные тела, коэффициент подобия.
Многогранники. Теорема Эйлера. Поверхность и внутренняя область многогранника. Сечения многогранников. Прямая и наклонная призма. Правильная призма и ее свойства. Пирамида. Правильная пирамида и ее свойства. Усеченная пирамида.
Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола. Эллипсоид, гиперболоид и параболоид вращения.
Сфера, шар, части шара (шаровой сектор, сегмент, пояс). Сечения шара и сферы. Касание сферы с прямой и плоскостью. Касание сфер. Вписанные и описанные шары и сферы.
Комбинации тел вращения. Комбинации многогранников и тел вращения.

Измерение геометрических величин

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
Площадь сферы, боковой поверхности цилиндра, конуса. Объем призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара и его частей.
Объемы подобных геометрических тел.

Координаты и векторы

Декартова система координат в пространстве. Задание пространственной формы уравнением, неравенством или системой. Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение сферы. Формула расстояния между точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка.
Векторы. Длина и направление вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности векторов. Условие принадлежности трех точек одной прямой. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам на плоскости. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Координаты суммы и разности векторов, произведение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности векторов. Векторное произведение векторов.

Авторский коллектив:

Г.Н. Яковлев (рук.), Л.О. Денищева, Г.В. Дорофеев, Г.М. Кузнецова, Л.В. Кузнецова, Т.М. Мищенко, С.В. Пчелинцев, Е.А. Седова, С.Б. Суворова.

ОТ РЕДАКЦИИ

Методическое письмо Департамента образовательных программ и стандартов общего образования

«Об экспериментальном преподавании математики в 10 классах в 2001–2002 учебном году»
читайте в № 29, 30/2001 г.